Thibault Anselmet nahm 2016 erstmals an internationalen Juniorenrennen der ISMF teil. Beim Auftakt der Weltcupsaison 2019/20 am 15. Dezember in China gab Anselmet sein Weltcupdebüt. Bei der Weltmeisterschaft 2019 gewann Anselmet mit der französischen Staffel die Silbermedaille. Seine erste Podiumsplatzierung im Weltcup gelang ihm am 19. Dezember 2020 am Adamello, wo er das Sprintrennen gewann. Im März 2021 folgte dann bei der Weltmeisterschaft in Arinsal die Bronzemedaille mit der Staffel. Bei den Weltmeisterschaften 2023 und 2025 konnte Anselmet jeweils Silber im Sprint sowie Gold in der Mixed-Staffel mit Emily Harrop gewinnen.
In den Saisons 2022/23, 2023/24 sowie 2024/25 sicherte sich Anselmet viermal in Folge den Gesamtweltcup. Darüber hinaus gewann er auch den ersten Platz in der Gesamtwertung im Sprint 2023/24 sowie im Vertical-Race 2020/21.